Câu 6 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III – Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 6. Cho dãy số ((u_n)), biết (u_1= 2, u_{n+1} =2u_n– 1) (với (n ≥ 1))

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh: (u_n= 2^{n-1}+ 1) bằng phương pháp quy nạp.

Trả lời:

a) Ta có:

({u_1} = { m{ }}2,{ m{ }}{u_2} = { m{ }}2{u_1}-{ m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}3,{ m{ }}{u_3} = { m{ }}2{u_2}-{ m{ }}1 = { m{ }}5)

({u_4} = { m{ }}2{u_3} – 1{ m{ }} = { m{ }}9,{ m{ }}{u_5} = { m{ }}2{u_4}-{ m{ }}1 = { m{ }}17)

b) Với (n = 1), ta có: (u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2) công thức đúng

Giả sử công thức đúng với  (n = k). Nghĩa là: ({u_k} = { m{ }}{2^{k – 1}} + { m{ }}1)

Ta chứng minh công thức cũng đúng với (n = k + 1), nghĩa là ta phải chứng minh:

({u^{k + 1}} = { m{ }}{2^{left( {k + 1} ight) – 1}} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}{2^k} + { m{ }}1)

Ta có: ({u_{k + { m{ }}1}} = 2{u_k} – 1 = 2({2^{k{ m{ }} – 1}} + { m{ }}1) – 1 = {2.2^{k{ m{ }} – 1}} + { m{ }}2-1 = {2^k} + 1) (đpcm)

Vậy (u_n= 2^{n-1}+ 1) với mọi  (nin {mathbb N}^*).