Câu 15 trang 108 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III – Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 15. Hãy cho biết dãy số ((u_n)) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát (u_n) của nó là:

A. ({( – 1)^{n + 1}}.sin {pi  over n})              B. ({( – 1)^{2n}}({5^n} + 1))

C. ({1 over {sqrt {n + 1}  + n}})                          D. ({n over {{n^2} + 1}})

Trả lời:

Xét từng phương án ta có:

_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử ({left( { – 1} ight)^{n + 1}}) nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, (u_n) không thể là dãy số tăng.

_ Phương án C:

(eqalign{
& {u_3} = {1 over {sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 over 3} cr
& {u_8} = {1 over {sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 over 4} cr} )

(⇒ u_8 < u_3  ⇒ u_n) không là dãy số tăng (⇒) loại đáp án C

_ Phương án D: ({u_1} = {1 over 2},{u_2} = {2 over 5})

(⇒ u_2< u_1⇒ u_n) không là dãy số tăng (⇒) loại phương án D

Vậy chọn phương án B

Thật vậy:

({u_n} = { m{ }}{left( { – 1} ight)^{2n}}.({5^n} + { m{ }}1){ m{ }} = { m{ }}{5^n} + 1) (vì (2n) chẵn nên ({left( { – 1} ight)^{2n}} = { m{ }}1))                                                                

Ta có:

({u_{n + 1}} – {u_n} =({5^{n + 1}} + 1)-({5^n} +1) = {5^{n + 1}}-{5^n})

(= 5^n. (5 – 1) = 4. 5^n> 0, ∀ n ∈ {mathbb N}^*)

Suy ra: (u_n) là dãy số tăng

Vậy chọn B