Câu 7 trang 107 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III – Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 7. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số ((u_n)), biết:

a) ({u_n} = n + {1 over n})

b) ({u_n} = {( – 1)^n}sin {1 over n})

c) ({u_n} = sqrt {n + 1}  – sqrt n )

Trả lời:

Xét hiệu:

(eqalign{
& {u_{n + 1}} – {u_n} = (n + 1 + {1 over {n + 1}}) – (n + {1 over n}) = 1 + {1 over {n + 1}} – {1 over n} cr
& = {{{n^2} + n – 1} over {n(n + 1)}} > 0,forall n in {N^*} cr} )

 Suy ra: (u_n) là dãy số tăng                                     (1)

Mặt khác: ({u_n} = n + {1 over n} ge 2sqrt {n.{1 over n}}  = 2,forall n in {N^*})

Nên (u_n) là dãy số bị chặn dưới                             (2)

Ta thấy khi (n) càng lớn thì (u_n) càng lớn nên (u_n) là dãy số không bị chặn trên                                                (3)

Từ (1), (2), (3) ta có (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

 (u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0)

(eqalign{
& {u_2} = {left( { – 1} ight)^1}.sin {1 over 2} = – sin {1 over 2} < 0 cr
& {u_3} = {( – 1)^2}.sin {1 over 3} = sin {1 over 3} > 0 cr} )

(⇒ u_1> u_2) và (u_2< u_3)

Vậy (u_n) là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

(eqalign{
& |{u_n}| = |{( – 1)^{n – 1}}.sin {1 over n}| = |sin {1 over n}| le 1 cr
& Leftrightarrow – 1 le {u_n} le 1 cr} )

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

({u_n} = sqrt {n + 1}  – sqrt n  = {{n + 1 – n} over {sqrt {n + 1}  + sqrt n }} = {1 over {sqrt {n + 1}  + sqrt n }})

Xét hiệu:

(eqalign{
& {u_{n + 1}} – {u_n} = {1 over {sqrt {(n + 1) + 1} + sqrt {n + 1} }} – {1 over {sqrt {n + 1} + sqrt n }} cr
& = {1 over {sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} }} – {1 over {sqrt {n + 1} + sqrt n }} cr} ) 

Ta có:

(left{ matrix{
sqrt {n + 2} > sqrt {n + 1} hfill cr
sqrt {n + 1} > sqrt n hfill cr} ight. Rightarrow sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} > sqrt {n + 1} + sqrt n )

 ( Rightarrow {1 over {sqrt {n + 2}  + sqrt {n + 1} }} < {1 over {sqrt {n + 1}  + sqrt n }} Rightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} < 0)

⇒ u_n là dãy số giảm                                            (1)

Mặt khác:

({u_n} = {1 over {sqrt {n + 1}  + sqrt n }} > 0,forall n in N*)

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới                         (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì (sqrt {n + 1}  + sqrt n  ge sqrt 2  + 1)

Nên ({u_n} = {1 over {sqrt {n + 1}  + sqrt n }} le {1 over {sqrt 2  + 1}})

Suy ra: (u_n) là dãy số bị chặn trên                            (3)

Từ (1), (2) và (3)  ta có: (u_n) là dãy số giảm và bị chặn