Câu 5 trang 107 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III – Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi (nin {mathbb N}^*), ta có:

a) (13^n-1) chia hết cho (6)

b) (3n^3+ 15n) chia hết cho (9)

Trả lời:

a) Với (n = 1), ta có:

(13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6)

Giả sử: (13^k- 1) ( ⋮ ) (6) với mọi (k ≥ 1)

Ta chứng minh: (13^{k+1}– 1) chia hết cho (6)

Thật vậy:

({13^{k + 1}}-{ m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}{13^{k + 1}}-{ m{ }}{13^k} + { m{ }}{13^k} – 1{ m{ }} = { m{ }}{12.13^k} + {13^k}-{ m{ }}1)

Vì : (12.13^k) (⋮) (6) và (13^k– 1) (⋮) (6) (theo giả thiết quy nạp)

Nên : (13^{k+1}– 1) (⋮) (6)

Vậy (13^n-1) chia hết cho (6)

b) Với (n = 1), ta có: (3.1^3+ 15.1 = 18) (⋮) (9)

Giả sử:  (3k^3+ 15k) (⋮) (9). Ta chứng minh: (3(k + 1)^3+ 15(k + 1)) (⋮) (9)

Thật vậy:

(3{left( {k + 1} ight)^3} + 15left( {k + 1} ight) = 3.{ m{ }}({k^3} + { m{ }}3{k^2} + { m{ }}3k + 1) + 15left( {k + 1} ight))

(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18)

(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2))

Vì (3k^3 + 15k) (⋮ ) (9) (theo giả thiết quy nạp) và (9(k^2+ k + 2)) (⋮) (9)

Nên: (3(k + 1)^3+ 15(k + 1)) (⋮) (9)

Vậy: (3n^3+ 15n) chia hết cho (9) với mọi (nin {mathbb N}^*)