Câu 13 trang 108 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III – Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 13. Chứng minh rằng nếu các số ({a^2},{b^2},{c^2}) lập thành một cấp số cộng ((abc ≠ 0)) thì các số ({1 over {b + c}},{1 over {c + a}};{1 over {a + b}}) cũng lập thành một cấp số cộng.

Trả lời:

Ta phải chứng minh: ({1 over {b + c}} + {1 over {a + b}} = {2 over {c + a}}) (1)

Biến đổi:

(eqalign{
& (1) Leftrightarrow {1 over {b + c}} – {1 over {c + a}} = {1 over {c + a}} – {1 over {a + b}} cr
& Leftrightarrow {{c + a – b – c} over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b – c – a} over {(c + a)(a + b)}} cr
& Leftrightarrow {{a – b} over {b + c}} = {{b – c} over {a + b}}Leftrightarrow {a^2} – {b^2} = {b^2} – {c^2}cr} )

Vậy (1) đúng vì (a^2,b^2,c^2) lập thành cấp số cộng.

Vậy ({1 over {b + c}},{1 over {c + a}};{1 over {a + b}}) là cấp số cộng.