Câu 6.1, 6.2, 6.3 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.

Câu 6.1 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Dựng một cung chứa góc 60⁰ trên đoạn thẳng AB cho trước.

Giải

 

Cách dựng: − Dựng đoạn thẳng AB.

− Dựng tia Ax sao cho (widehat {BAx} = 60^circ ).

− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB.

− Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A.

− Tia Ay cắt đường thẳng d tại O.

− Dựng cung tròn tâm O bán kính OA.

− Dựng O' đối xứng với O qua AB.

− Dựng cung tròn tâm O’ bán kính O’A.

Ta có cung chứa góc 60º vẽ trên đoạn AB cho trước.

Câu 6.2 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.

Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là B và C. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.

Giải

Chứng minh thuận:

Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài không đổi.

∆OBC cân tại O (vì OB = OC bán kính)

  IB = IC (gt) nên OI là đường trung tuyến vừa là đường cao

( Rightarrow ) OI ⊥ BC

( Rightarrow widehat {OIA} = 90^circ )

Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi thì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn OA cố định góc (widehat {OIA} = 90^circ ). Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA.

Chứng minh đảo: Lấy điểm I’ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B’ và C’.

Ta chứng minh: I’B = I’C’.

Trong đường tròn đường kính AO ta có (widehat {OI'A} = 90^circ ) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

( Rightarrow ) OI'⊥ B'C'

( Rightarrow ) I'B' = I'C' (đường kính vuông góc với dây cung)

Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.

Câu 6.3 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho

(MA + MB + MC) nhỏ nhất.

Giải

Trong ∆ABC ta lấy điểm M. Nối MA, MB, MC.

Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.

Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM = MN.

Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC.

Xét ∆AMC và ∆PNC:

                CM = CN (vì ∆MCN đều)

                CA = CP (vì ∆APC đều)

                 (widehat {MCA} + widehat {ACN} = 60^circ )

(widehat {ACN} + widehat {NCP} = 60^circ )

( Rightarrow widehat {MCA} = widehat {NCP})

Suy ra: ∆AMC = ∆PNC (c.g.c)

( Rightarrow )           PN = AM

                  MA + MB + MC = MB + MN + NP

Ta có ∆ABC cho trước nên điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.

Vì (widehat {CMN} = 60^circ ) nên 3 điểm B, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi (widehat {BMC} = 120^circ )

Vì (widehat {CNM} = 60^circ ) nên 3 điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi (widehat {CNP} = 120^circ )

Mà ∆AMC = ∆PNC (chứng minh trên)     ( Rightarrow widehat {AMC} = widehat {PNC} = 120^circ )

Vậy MA + MB + MC bé nhất khi và chỉ khi (widehat {BMC} = 120^circ )  và (widehat {AMC} = 120^circ )

Vậy M là giao điểm của 2 cung chứa góc 120º dựng trên BC  và AC.

Sachbaitap.com