Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm các giới hạn sau :...

Tìm các giới hạn sau :

a.  (mathop {lim }limits_{x o – 2} oot 3 of {{{2{x^4} + 3x + 1} over {{x^2} – x + 2}}} )

b.  (mathop {lim }limits_{x o – infty } {{sqrt {{x^2} – x + 5} } over {2x – 1}})

c.  (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 3} ight)}^ – }} {{{x^4} + 1} over {{x^2} + 4x + 3}})

d.  (mathop {lim }limits_{x o 2} {3 over {{{left( {x – 2} ight)}^2}}}sqrt {{{x + 4} over {4 – x}}} )

e.  (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 2} ight)}^ + }} {{sqrt {8 + 2x} – 2} over {sqrt {x + 2} }})

f.  (mathop {lim }limits_{x o – infty } left( {sqrt {{x^2} + x} – sqrt {4 + {x^2}} } ight))

Giải:

a.  (mathop {lim }limits_{x o – 2} oot 3 of {{{2{x^4} + 3x + 1} over {{x^2} – x + 2}}} = oot 3 of {{{32 – 6 + 1} over {4 + 2 + 2}}} = oot 3 of {{{27} over 8}} = {3 over 2})

b.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o – infty } {{sqrt {{x^2} – x + 5} } over {2x – 1}} = mathop {lim }limits_{x o – infty } {{left| x ight|sqrt {1 – {1 over x} + {5 over {{x^2}}}} } over {xleft( {2 – {1 over x}} ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o – infty } {{ – sqrt {1 – {1 over x} + {5 over {{x^2}}}} } over {2 – {1 over x}}} = – {1 over 2} cr} )

c. Với mọi x < -3, ta có:  ({{{x^4} + 1} over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} over {x + 1}}.{1 over {x + 3}})

 (eqalign{& mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 3} ight)}^ – }} {{{x^4} + 1} over {x + 1}} = {{82} over { – 2}} = – 41 < 0,cr& ext{ và },mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 3} ight)}^ – }} {1 over {x + 3}} = – infty cr & ext{ nên },mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 3} ight)}^ – }} {{{x^4} + 1} over {{x^2} + 4x + 3}} = + infty cr} )

d.

(eqalign{
& ext{ Vì },mathop {lim }limits_{x o 2} {3 over {{{left( {x – 2} ight)}^2}}} = + infty cr& ext{ và},mathop {lim }limits_{x o 2} sqrt {{{x + 4} over {4 – x}}} = sqrt {{6 over 2}} = sqrt 3 > 0 cr
&  ext{ nên },mathop {lim }limits_{x o 2} {3 over {{{left( {x – 2} ight)}^2}}}sqrt {{{x + 4} over {4 – x}}} = + infty cr} )

e. Nhân tử và mẫu của phân thức với (sqrt {8 + 2x} + 2,) ta được :

(eqalign{
& {{sqrt {8 + 2x} – 2} over {sqrt {x + 2} }} = {{8 + 2x – 4} over {sqrt {x + 2} left( {sqrt {8 + 2x} + 2} ight)}} cr
& = {{2left( {x + 2} ight)} over {sqrt {x + 2} left( {sqrt {8 + 2x} + 2} ight)}} = {{2sqrt {x + 2} } over {sqrt {8 + 2x} + 2}} cr
& forall x > – 2 cr} )

Do đó  (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 2} ight)}^ + }} {{sqrt {8 + 2x} – 2} over {sqrt {x + 2} }} = mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 2} ight)}^ + }} {{2sqrt {x + 2} } over {sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 over 4} = 0)

f.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o – infty } left( {sqrt {{x^2} + x} – sqrt {4 + {x^2}} } ight) cr&= mathop {lim }limits_{x o – infty } {{{x^2} + x – 4 – {x^2}} over {sqrt {{x^2} + x} + sqrt {4 + {x^2}} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o – infty } {{x – 4} over {left| x ight|sqrt {1 + {1 over x}} + left| x ight|sqrt {{4 over {{x^2}}} + 1} }} cr&= mathop {lim }limits_{x o – infty } {{xleft( {1 – {4 over x}} ight)} over { – xleft( {sqrt {1 + {1 over x}} + sqrt {{4 over {{x^2}}} + 1} } ight)}} cr
& = – mathop {lim }limits_{x o – infty } {{1 – {4 over x}} over {sqrt {1 + {1 over x}} + sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}} }} = – {1 over 2} cr} )