Câu 48 trang 173 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng...

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó :

a.  (fleft( x ight) = {{{x^2} + 3x + 4} over {2x + 1}})

b.  (fleft( x ight) = sqrt {1 – x} + sqrt {2 – x} )

Giải:

a. Tập xác định của hàm số f là (mathbb R) (left{ {{1 over 2}} ight}) . Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng (left( { – infty ; – {1 over 2}} ight)) và  (left( { – {1 over 2}; + infty } ight))

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

(left{ {matrix{{1 – x ge 0} cr {2 – x ge 0} cr} } ight. Leftrightarrow x le 1)

Do đó tập xác định của hàm số f là  (left( { – infty ;1} ight])

Với mọi ({x_0} in left( { – infty ;1} ight)) ,ta có:

(mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} left( {sqrt {1 – x} + sqrt {2 – x} } ight) = sqrt {1 – {x_0}} + sqrt {2 – {x_0}} = fleft( {{x_0}} ight))

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (left( { – infty ;1} ight).) Ngoài ra

(mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} left( {sqrt {1 – x} + sqrt {2 – x} } ight) = 1 = fleft( 1 ight))

Do đó hàm số f liên tục trên  (left( { – infty ;1} ight])