Câu 51 trang 221 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)...

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

a. (y=sin x,;y”’)  

b. (y = sin xsin 5x,{y^{left( 4 ight)}})

c. (y = {left( {4 – x} ight)^5},{y^{left( n ight)}})

d. (y = {1 over {2 + x}},{y^{left( n ight)}})

e. (y = {1 over {2x + 1}},{y^{left( n ight)}})

f. (y = {cos ^2}x,{y^{left( {2n} ight)}})

Giải:

a. 

(egin{array}{l}
y’ = cos x
y” = – sin x
y”’ = – cos x
end{array})

b. 

(egin{array}{l}
y = frac{1}{2}left( {cos 4x – cos 6x} ight)
y’ = – 2sin 4x + 3sin 6x
y” = – 8cos 4x + 18cos 6x
y'” = 32sin 4x – 108sin 6x
{y^{left( 4 ight)}} = 128cos 4x – 648cos 6x
end{array})

c. 

(egin{array}{l}
y’ = – 5{left( {4 – x} ight)^4}
y” = 20{left( {4 – x} ight)^3}
y”‘ = – 60{left( {4 – x} ight)^2}
{y^{left( 4 ight)}} = 120left( {4 – x} ight)
{y^{left( 5 ight)}} = – 120
{y^{left( n ight)}} = 0,left( {forall n ge 6} ight)
end{array})

d. 

(egin{array}{l}
y = frac{1}{{x + 2}} = {left( {x + 2} ight)^{ – 1}}
y’ = – 1{left( {x + 2} ight)^{ – 2}}
y” = left( { – 1} ight)left( { – 2} ight){left( {x + 2} ight)^{ – 3}},…
end{array})

Bằng qui nạp ta chứng minh được :
  ({y^{left( n ight)}} = left( { – 1} ight)left( { – 2} ight)…left( { – n} ight).{left( {x + 2} ight)^{ – n – 1}})

          (= {left( { – 1} ight)^n}.frac{{n!}}{{{{left( {x + 2} ight)}^{n + 1}}}})

e.  

(egin{array}{l}
y = {left( {2x + 1} ight)^{ – 1}}
y’ = left( { – 1} ight)left( {2{{left( {2x + 1} ight)}^{ – 2}}} ight)
y” = left( { – 1} ight)left( { – 2} ight){.2^2}{left( {2x + 1} ight)^{ – 3}},…
end{array})

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

 ({y^{left( n ight)}} = {left( { – 1} ight)^n}.frac{{{2^n}.n!}}{{{{left( {2x + 1} ight)}^{n + 1}}}})

f. Ta có: 

(egin{array}{l}
y’ = – sin 2x
y” = – 2cos 2x
y”‘ = {2^2}sin 2x
{y^{left( 4 ight)}} = {2^3}cos 2x
{y^{left( 5 ight)}} = – {2^4}sin 2x
{y^{left( 6 ight)}} = – {2^5}cos 2x,…
end{array})

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

   ({y^{left( {2n} ight)}} = {left( { – 1} ight)^n}{.2^{2n – 1}}cos 2x)