Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi :...

Bài 50. Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

({u_1} = 3; ext{và};{u_{n + 1}} = sqrt {{u_n} + 6} ) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Giải:

Ta chứng minh ({u_n} = { m{ }}3{ m{ }};left( 1 ight)) với mọi n bằng qui nạp

+) Với (n = 1) ta có ({u_1} = { m{ }}3), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với (n=k) tức là: ({u_k} = { m{ }}3) 

+) Ta chứng minh ({u_{k{ m{ }} + { m{ }}1}} = { m{ }}3)

Thật vậy ta có  ({u_{k + 1}} = sqrt {{u_k} + 6} = sqrt {3 + 6} = 3)

Vậy ({u_n} = { m{ }}3, ∀n ≥ 1) do đó (u_n) vừa là cấp số cộng công sai (d = 0) vừa là cấp số nhân công bội (q = 1).