Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng...

Bài 44. Chứng minh rằng

({1.2^2} + {2.3^2} + … + left( {n – 1} ight).{n^2} = {{nleft( {{n^2} – 1} ight)left( {3n + 2} ight)} over {12}})    (1)

Với mọi số nguyên (n ≥ 2)

Giải:

+) Với (n = 2) ta có :

({1.2^2} = {{2left( {{2^2} – 1} ight)left( {3.2 + 2} ight)} over {12}} = 4)

Vậy (1) đúng với (n = 2)

+) Giả sử (1) đúng với (n = k), tức là ta có :

({1.2^2} + {2.3^2} + … + left( {k – 1} ight){k^2} = {{kleft( {{k^2} – 1} ight)left( {3k + 2} ight)} over {12}})

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n=k+1)

(eqalign{
& {1.2^2} + {2.3^2} + … + left( {k – 1} ight).{k^2} + k.{left( {k + 1} ight)^2} cr
& = {{kleft( {{k^2} – 1} ight)left( {3k + 2} ight)} over {12}} + k{left( {k + 1} ight)^2} cr
& = {{kleft( {k + 1} ight)left[ {left( {k – 1} ight)left( {3k + 2} ight) + 12left( {k + 1} ight)} ight]} over {12}} cr
& = {{kleft( {k + 1} ight)left( {3{k^2} + 11k + 10} ight)} over {12}} cr
& = {{kleft( {k + 1} ight)left[ { {3kleft( {k + 2} ight)} + 5left( {k + 2} ight)} ight]} over {12}} cr
& = {{left( {k + 1} ight)left( {{k^2} + 2k} ight)left( {3k + 5} ight)} over {12}} cr
& = {{left( {k + 1} ight)left[ {{{left( {k + 1} ight)}^2} – 1} ight]left[ {3left( {k + 1} ight) + 2} ight]} over {12}} cr} )

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với (n = k + 1)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi (n ≥ 2)