Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Bài 7. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

({u_1} = 10, ext{ và },{u_{n + 1}} = {{{u_n}} over 5} + 3) với mọi (n ≥ 1)

a. Chứng minh rằng dãy số (v_n) xác định bởi ({v_n} = {u_n} – {{15} over 4}) là một cấp số nhân.

b. Tìm (lim u_n).

Giải:

a. Ta có:  ({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} – {{15} over 4} = {{{u_n}} over {5}} + 3 – {{15} over 4} = {{{u_n}} over 5} – {3 over 4})

Thay ({u_n} = {v_n} + {{15} over 4}) vào ta được  :

({v_{n + 1}} = {1 over 5}left( {{v_n} + {{15} over 4}} ight) – {3 over 4} = {1 over 5}{v_n},forall n)

Vậy (v_n) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  (q = {1 over 5})

b. Ta có:

(eqalign{
& {v_1} = {u_1} – {{15} over 4} = 10 – {{15} over 4} = {{25} over 4} cr
& {v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}} = {{25} over 4}.{left( {{1 over 5}} ight)^{n – 1}} cr
& Rightarrow lim {v_n} = 0 Rightarrow lim {u_n} = {{15} over 4} cr} )