Câu 5.34 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra ...
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra
a) (y = {left( {x + sqrt {{x^2} + 1} } ight)^3};left( {1 + {x^2}} ight)y' + xy' - 9y = 0)
b) (y = 2sin 2x;{y^{left( {2n} ight)}} = {left( { - 1} ight)^n}{2^{2n}}y)
Giải
a)
(eqalign{
& y' = 3{left( {x + sqrt {{x^2} + 1} }
ight)^2}.left[ {1 + {x over {sqrt {{x^2} + 1} }}}
ight] cr
& y' = 6left( {x + sqrt {{x^2} + 1} }
ight).left[ {1 + {x over {sqrt {{x^2} + 1} }}}
ight] cr&+ 6left( {x + sqrt {{x^2} + 1} }
ight).left[ {1 + {x over {sqrt {{x^2} + 1} }}}
ight].{x over {sqrt {{x^2} + 1} }} cr&+ 3{left( {x + sqrt {{x^2} + 1} }
ight)^2}.{1 over {left( {{x^2} + 1}
ight).sqrt {{x^2} + 1} }} cr} )
Do đó: (left( {1 + {x^2}} ight)y' + xy' - 9y = 0)
b) Ta có
(eqalign{& y' = 2cos 2x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,y' = - {2^2}sin 2x cr& y' = - {2^3}cos 2x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{y^{left( 4 ight)}} = {2^4}sin 2x cr& {y^{left( 5 ight)}} = {2^5}cos 2x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{y^{left( 6 ight)}} = - {2^6}sin 2x cr& {y^{left( 7 ight)}} = - {2^7}sin 2x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{y^{left( 8 ight)}} = {2^8}sin 2x cr& ... cr} )
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được
({y^{left( {2n} ight)}} = {left( { - 1} ight)^n}{2^{2n}}sin 2x = {left( { - 1} ight)^n}{2^{2n}}y)
Sachbaitap.com
