Câu 5.22 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hai hàm số. Chứng minh rằng

Cho hai hàm số

                        (fleft( x ight) = {sin ^4}x + {cos ^4}x)  và (gleft( x ight) = {1 over 4}cos 4x)

Chứng minh rằng

                        (f'left( x ight) = g'left( x ight),,,left( {forall x in R} ight))

Giải

Cách 1. Với mọi (x in R), ta có

(eqalign{ f'left( x ight)& = 4{sin ^3}xcos x + 4{cos ^3}xleft( { - sin x} ight) cr&= 4sin xcos x({sin ^2}x - {cos ^2}x)  cr& = 2sin 2xleft( { - cos 2x} ight) =  - sin 4x. cr} )

Mặt khác ta có

    (g'left( x ight) = {1 over 4}left( { - 4sin 4x} ight) =  - sin 4x.)

Vậy với mọi (x in R), ta có

                        (f'left( x ight) = g'left( x ight).)

Cách 2. Ta chứng minh rằng (fleft( x ight))  và (gleft( x ight)) khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có

(eqalign{{sin ^4}x + {cos ^4}x &= {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} ight)^2} - 2{sin ^2}x{cos ^2}x  cr& = 1 - {1 over 2}{sin ^2}2xcr& = 1 - {1 over 2}.{{1 - cos 4x} over 2} cr&= {3 over 4} + {1 over 4}cos 4x cr} )

Tức là  (fleft( x ight) = {3 over 4} = gleft( x ight),,,,,,,,,,,,,,,,,left( {forall x in R} ight).)

Vậy                             (f'left( x ight) = g'left( x ight).)

Sachbaitap.com