Câu 5.27 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải và biện luận phương trình

Giải và biện luận phương trình (f'left( x ight) = 0) biết rằng

             (fleft( x ight) = 2sin x + 2left( {1 - 2m} ight)cos x - 2mx)

Giải

Với mọi (x in R), ta có

(eqalign{& f'left( x ight) = 2cos 2x - 2left( {1 - 2m} ight)sin x - 2m  cr& f'left( x ight) = 0 cr&Leftrightarrow left( {1 - 2{{sin }^2}x} ight) - left( {1 - 2m} ight)sin x - m = 0  cr& Leftrightarrow 2{sin ^2}x + left( {1 - 2m} ight)sin x + m-1=0,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 ight) cr} )

Ta có (Delta  = {left( {1 - 2m} ight)^2} - 8m + 8 )

(= 4{m^2} - 12m + 9 = {left( {2m - 3} ight)^2})

Vậy

(left( 1 ight) Leftrightarrow left[ matrix{sin x = {{left( {2m - 1} ight) - left( {2m - 3} ight)} over 4} = {1 over 2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight) hfill crsin x = {{left( {2m - 1} ight) + left( {2m - 3} ight)} over 4} = m - 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 3 ight) hfill cr}  ight.)

Giải (2), ta được

(sin x = {1 over 2} = sin {pi  over 6} Leftrightarrow left[ matrix{x = {pi  over 6} + k2pi  hfill cr x = {{5pi } over 6} + k2pi . hfill cr} ight.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 4 ight))

( ullet ) Giải (3), với điều kiện ( - 1 le m - 1 le 1,,,hay,,0 le m le 2,) ta được

(sin x = m - 1 = sin alpha  Leftrightarrow left[ matrix{x = alpha  + k2pi  hfill cr x = pi  - alpha  + k2pi  hfill cr}  ight.,,,,,,,(5))

Kết luận

a) Nếu (m < 0) hoặc (m > 2) thì phương trình (f'left( x ight) = 0) có các nghiệm là (4)

b) Nếu (0 le m le 2) thì phương trình (f'left( x ight) = 0) có các nghiệm là (4) và (5).

Sachbaitap.com