Câu 48 trang 219 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, a. Nếu...

a. Nếu (y = Asin left( {omega t + varphi } ight) + Bcos left( {omega t + varphi } ight),) trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì  (y” + {omega ^2}y = 0.)

b. Nếu (y = sqrt {2x – {x^2}} ) thì ({y^3}y” + 1 = 0.)

Giải:

a. 

(egin{array}{l}
y = Asin left( {omega t + varphi } ight) + Bcos left( {omega t + varphi } ight), ext{ nên }
y’ = Aomega cos left( {omega t + varphi } ight) – Bomega sin left( {omega t + varphi } ight)
y” = – A{omega ^2}sin left( {omega t + varphi } ight) – B{omega ^2}cos left( {omega t + varphi } ight)
Suy,ra,:,y” + {omega ^2}y = – left[ {A{omega ^2}sin left( {omega t + varphi } ight)+B{omega ^2}cos left( {omega t + varphi } ight)} ight]
+ {omega ^2}left[ {Asin left( {omega t + varphi } ight) + Bcos left( {omega t + varphi } ight)} ight] = 0
end{array})

b. Ta có: 

(egin{array}{l}
y’ = frac{{2 – 2x}}{{2sqrt {2x – {x^2}} }} = frac{{1 – x}}{{sqrt {2x – {x^2}} }}
y” = frac{{ – sqrt {2x – {x^2}} – left( {1 – x} ight).frac{{1 – x}}{{sqrt {2x – {x^2}} }}}}{{left( {2x – {x^2}} ight)}}
= frac{{ – 2x + {x^2} – 1 + 2x – {x^2}}}{{sqrt {{{left( {2x – {x^2}} ight)}^3}} }} = frac{{ – 1}}{{sqrt {{{left( {2x – {x^2}} ight)}^3}} }}
Suy,ra,{y^3}.y” + 1 = sqrt {{{left( {2x – {x^2}} ight)}^3}} .frac{{ – 1}}{{sqrt {{{left( {2x – {x^2}} ight)}^3}} }} + 1 = 0
end{array})