Câu 4 trang 41 SGK Đại số và giải tích 11: Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác...

Bài 4. Giải các phương trình:

a) (sin (x + 1) = {2 over 3})

b) ({sin ^2}2x = {1 over 2})

c) ({cot ^2}{x over 2} = {1 over 3})

d) ( an ({pi  over {12}} + 12x) =  – sqrt 3 )

Giải

a) Ta có:

(eqalign{
& sin (x + 1) = {2 over 3} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x + 1 = arcsin {2 over 3} + k2pi hfill cr
x + 1 = pi – arcsin {2 over 3} + k2pi hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 + arcsin {2 over 3} + k2pi hfill cr
x = – 1 + pi – arcsin {2 over 3} + k2pi hfill cr} ight.;k in mathbb{Z} cr} )

b) Ta có: 

(eqalign{
& {sin ^2}2x = {1 over 2} Leftrightarrow {{1 – cos 4x} over 2} = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow cos 4x = 0 Leftrightarrow 4x = {pi over 2} + kpi cr
& Leftrightarrow x = {pi over 8} + k{pi over 4},k in mathbb{Z} cr} )

c) Ta có: 

(eqalign{
& {cot ^2}{x over 2} = {1 over 3} Leftrightarrow left[ matrix{
cot {x over 2} = {{sqrt 3 } over 3}(1) hfill cr
cot {x over 2} = – {{sqrt 3 } over 3}(2) hfill cr} ight. cr
& (1) Leftrightarrow cot {x over 2} = cot {pi over 3} Leftrightarrow {x over 2} = {pi over 3} + kpi cr
& Leftrightarrow x = {{2pi } over 3} + k2pi ,k in mathbb{Z} cr
& (2) Leftrightarrow cot {x over 2} = cot ( – {pi over 3}) Leftrightarrow {x over 2} = – {pi over 3} + kpi cr
& Leftrightarrow x = – {{2pi } over 3} + k2pi ;k in mathbb{Z} cr} )

d) Ta có:

(  an ({pi over {12}} + 12x) = – sqrt 3)

(Leftrightarrow an ({pi over {12}} + 12x ) = an ({{ – pi } over 3}))
(Leftrightarrow {pi over {12}} + 12x = {{ – pi } over 3} + kpi)

(Leftrightarrow x = – {{5pi } over {144}} + k{pi over {12}},k in mathbb{Z}  )

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (x = {{ – 5pi } over {144}} + {{kpi } over {12}},k in mathbb{Z})