Câu 4.35 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau:

Tìm các giới hạn sau:

a) (lim sqrt nleft( {sqrt {n + 2}  - sqrt n } ight) )           b) (lim {1 over {sqrt {2n + 1}  - sqrt {n + 1} }})

c) (lim left( {2n - 1} ight)sqrt {{{2n + 3} over {{n^4} - {n^2} + 2}}} )             d) (lim sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} over {5n + {3^{n + 1}}}}} )

Giải

a) (sqrt n left( {sqrt {n + 2}  - sqrt n } ight) = {{2sqrt n } over {sqrt {n + 2}  + sqrt n }} = {2 over {sqrt {1 + {2 over n} + 1} }}) với mọi n.

Do đó

(lim sqrt n left( {sqrt {n + 2}  - sqrt n } ight) = 2lim {1 over {sqrt {1 + {2 over n} + 1} }} = 2.{1 over 2} = 1.)

b) (lim {1 over {sqrt {2n + 1}  - sqrt {n + 1} }} = lim {{sqrt {2n + 1}   + sqrt {n + 1} } over n} = 0;)

c) (left( {2n - 1} ight)sqrt {{{2n + 3} over {{n^4} - {n^2} + 2}}}  = sqrt {{{{{left( {2n - 1} ight)}^2}left( {2n + 3} ight)} over {{n^4} - {n^2} + 1}}} ) với mọi n.

Vì (lim {{{{left( {2n - 1} ight)}^2}left( {2n + 3} ight)} over {{n^4} - {n^2} + 1}} = 0) nên

                                    (lim left( {2n - 1} ight)sqrt {{{2n + 3} over {{n^4} - {n^2} + 2}}}  = sqrt 0  = 0;)

d) ({{{3^n} + {2^{n + 1}}} over {5n + {3^{n + 1}}}} = {{1 + 2{{left( {{2 over 3}} ight)}^n}} over {{{5n} over {{3^n}}} + 3}}) với mọi n.

Do đó (lim {{{3^n} + {2^{n + 1}}} over {5n + {3^{n + 1}}}} = {1 over 3})

Và (lim sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} over {5n + {3^{n + 1}}}}}  = sqrt {{1 over 3}}  = {{sqrt 3 } over 3}.)

Sachbaitap.com