Câu 4.19 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

a) Chứng minh rằng nếu dãy số (left( {{u_n}} ight)) có giới hạn hữu hạn và dãy (left( {{v_n}} ight)) không có giới hạn hữu hạn thì dãy số (left( {{u_n} + {v_n}} ight)) không có giới hạn hữu hạn.

b) Dãy số (left( {{{left( { - 1} ight)}^n} + {1 over n}} ight)) có giới hạn hữu hạn hay không ?

Giải

a) Đặt ({{ m{w}}_n} = {u_n} + {v_n}.) Ta chứng minh dãy số (left( {{ m{w}_n}} ight)) không có giới hạn hữu hạn, bằng phản chứng. Giả sử (lim {{ m{w}}_n} = M in R.) Khi đó (lim {v_n} = lim left( {{{ m{w}}_n} - {u_n}} ight) = M - L.) Ta đi đến mâu thuẫn

b) Chứng minh tương tự câu a): Dãy số ({left( { - 1} ight)^n}) không có giới hạn hữu hạn và dãy số (left( {{1 over n}} ight)) có giới hạn hữu hạn (left( {lim {1 over n} = 0} ight).) Do đó dãy số (left( {{{left( { - 1} ight)}^n} + {1 over n}} ight)) không có giới hạn hữu hạn.

Sachbaitap.com