Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Cho dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi

(left{ matrix{
{u_1} = {1 over 4} hfill cr
{u_{n + 1}} = u_n^2 + {{{u_n}} over 2},,,,,voi,,moi,,,n hfill cr} ight.)

Chứng minh rằng

a) (0 < {u_n} le {1 over 4}) với mọi n             b) ({{{u_{n + 1}}} over {{u_n}}} le {3 over 4})với mọi n

Từ đó suy ra (lim {u_n} = 0)

Giải

a) (0 < {u_n} le {1 over 4}) với mọi n     (1)

+) Với  n = 1 ({u_1} = {1 over 4}), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có (0<u_kle {1 over 4})

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

({u_{k + 1}} = u_k^2 + {{{u_k}} over 2} = {u_k}.left( {{u_k} + {1 over 2}} ight)  le {1 over 4})

(left( {do,,0 < {u_k} le {1 over 4}} ight))

Vậy (1) đã được chứng minh.

b) ({{{u_{n + 1}}} over {{u_n}}} = {u_n} + {1 over 2} le {1 over 4} + {1 over 2} = {3 over 4}) với mọi n

Từ đó suy ra

(eqalign{
& {u_2} le {3 over 4}{u_1} cr
& {u_3} le {3 over 4}{u_2} le {left( {{3 over 4}} ight)^2}{u_1},... cr
& 0 le {u_n} < {left( {{3 over 4}} ight)^{n - 1}}{u_1} = {1 over 4}{left( {{3 over 4}} ight)^{n - 1}} cr} )

Sachbaitap.com