Bài 48 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng

a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng

(left( alpha  ight):x + y - z + 1 = 0) và (left( alpha'  ight):x - y + z - 5 = 0.)

b) Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho ({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.)

Xác định a, b, c để khoảng cách từ O tới mp(ABC) lớn nhất.

Giải

a) (M in Oy Leftrightarrow M = (0;{y_0};0).) Vậy :

(dleft( {M,left( alpha  ight)} ight) = {{left| {{y_0} + 1} ight|} over {sqrt 3 }},dleft( {M,left( alpha ' ight)} ight) = {{left| { - {y_0} - 5} ight|} over {sqrt 3 }}.)

Ta có (dleft( {M,left( alpha  ight)} ight) = dleft( {M,left( {alpha '} ight)} ight))

(Leftrightarrow left| {{y_0} + 1} ight| = left| {{y_0} + 5} ight| Leftrightarrow {y_0} =  - 3.)

Vậy điểm phải tìm là M(0;-3;0).

b) Phương trình mặt phẳng (ABC) là : ({x over a} + {y over b} + {z over c} = 1)

( Rightarrow dleft( {O,left( {ABC} ight)} ight) = {{left| { - 1} ight|} over {sqrt {{1 over {{a^2}}} + {1 over {{b^2}}} + {1 over {{c^2}}}} }}.)

Theo bất đẳng thức Cô-si,ta có ({1 over {{a^2}}} + {1 over {{b^2}}} + {1 over {{c^2}}} ge 3 oot 3 of {{1 over {{a^2}{b^2}{c^2}}}} )

Và (3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} ge 3 oot 3 of {{a^2}{b^2}{c^2}} )

Suy ra : ({1 over {{a^2}}} + {1 over {{b^2}}} + {1 over {{c^2}}} ge 3 Leftrightarrow sqrt {{1 over {{a^2}}} + {1 over {{b^2}}} + {1 over {{c^2}}}}  ge sqrt 3 .)

Từ đó suy ra : (dleft( {O,left( {ABC} ight)} ight) le {1 over {sqrt 3 }}.)

Dấu = xảy ra khi ({a^2} = {b^2} = {c^2} = 1) hay (a=b=c=1).

Vậy (dleft( {O,left( {ABC} ight)} ight)) lớn nhất bằng ({1 over {sqrt 3 }}) khi (a=b=c=1)

Sachbaitap.com