Bài 38 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng

Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng

(left( P  ight):3x - 8y + 7z - 1 = 0.)

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (left( { P } ight)).

b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều.

Giải

a) Giả sử I=(x;y;z). Khi đó (overrightarrow {AB}  = (2;0;2),overrightarrow {AI}  = (x;y;z + 3).)

Vì (overrightarrow {AI} ) và (overrightarrow {AB} ) cùng phương nên có một số k sao cho (overrightarrow {AI}  = koverrightarrow {AB} ) hay

(left{ matrix{  x = 2k hfill cr  y = 0 hfill cr  z + 3 = 2k hfill cr}  ight. Rightarrow left{ matrix{  y = 0 hfill cr  x - z - 3 = 0. hfill cr}  ight.)

Mặt khác, (I in left( P ight)) nên 3x-8y+7z-1=0. Vậy ta có hệ :

(left{ matrix{  y = 0 hfill cr  x - z - 3 = 0 hfill cr  3x - 8y + 7z - 1 = 0 hfill cr}  ight. Rightarrow left{ matrix{  x = {{11} over 5} hfill cr  y = 0 hfill cr  z =  - {4 over 5} hfill cr}  ight.)

(Rightarrow I = ({{11} over 5};0; - {4 over 5}).)

b) Ta có (AB = 2sqrt 2 .) Giả sử C=(x;y;z).

Ta phải có

(eqalign{  & left{ matrix{  CA = 2sqrt 2  hfill cr  CB = 2sqrt 2  hfill cr  C in left( P ight) hfill cr}  ight. cr&Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 8 hfill cr  {(x - 2)^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 8 hfill cr  3x - 8y + 7z - 1 = 0 hfill cr}  ight.  cr  &  Rightarrow left{ matrix{  {x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 8 hfill cr  x + z + 1 = 0 hfill cr  3x - 8y + 7z - 1 = 0 hfill cr}  ight. cr} )

Giải hệ bằng phương pháp thế, ta có hai nghiệm và do đó có hai điểm C :

(C(2;-2;-3),;Cleft( { - {2 over 3}; - {2 over 3}; - {1 over 3}} ight).)

Sachbaitap.com