Câu 2.35 trang 18 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao

Một đồng hồ quả lắc đếm giây (có chu kì T = 2 s), quả lắc được coi như là một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có khối lượng riêng là và hệ số nợ dài là .

Một đồng hồ quả lắc đếm giây (có chu kì T = 2 s), quả lắc được coi như là một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có khối lượng riêng là ( ho  = 8900,kg/{m^3}) và hệ số nợ dài là (alpha  = {17.10^{ - 6}}) độ (^{ - 1}) .

Giả sử đồng hồ chạy đúng trong chân không, ở nhiệt độ ({20^0}C) và tại một nơi có gia tốc trọng trường (g = 9,813,m/{s^2}.)

a) Tính độ dài l của dây treo ở ({20^0}C).

b) Trong khí quyển ở ({20^0}C) thì đồng hồ chạy thế nào ?

c) Trong khí quyển ở ({30^0}C) thì đồng hồ chạy thế nào ?

d) Đưa đồng hồ đến một nơi có gia tốc trọng trường là (g = 9,809,m/{s^2}) thì đồng hờ chạy thế nào trong chân không và ở ({20^0}C)?

Biết khối lượng riêng của không khí trong khí quyển là ({ ho _{kk}} = 1,3,kg/{m^3}.) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cản không khí đến chu kì dao động của con lắc.

Giải

Công thức cho chu kì T là: (T = 2pi sqrt {{l over g}} )

a) Từ đó suy ra:

            (l = {{g{T^2}} over {4{pi ^2}}} = {{9,813.4} over {4.{{left( {3,141} ight)}^2}}} approx 0,995m)

b) Trong khí quyển, con lắc chịu tác dụng của lực đẩy Ác-si-mét của không khí bằng ({m over ho }{ ho _{kk}}g). Lực đẩy làm giảm trọng lượng của con lắc và trọng lượng của nó chỉ còn là:

             (mg - {m over ho }{ ho _{kk}}g = mgleft( {1 - {{{ ho _{kk}}} over ho }} ight))

Như vậy, coi như con lắc chịu tác dụng của trọng trường biểu kiến có gia tốc:

            (g' = gleft( {1 - {{{ ho _{kk}}} over ho }} ight))

            ({{{ ho _{kk}}} over ho } = {{1,3} over {8900}} <  < 1) , kí hiệu ({{{ ho _{kk}}} over ho } = varepsilon )

Chu kì dao động T của con lắc trong khí quyển ở ({20^o}) là:

            (T' = 2pi sqrt {{l over g}}  = Tsqrt {{g over {g'}}}  = Tsqrt {{1 over {1 - varepsilon }}} )

Với (varepsilon  <  < 1,) có thể dùng những công thức gần đúng:

            ({1 over {1 - varepsilon }} approx 1 + varepsilon ) và (sqrt {1 + varepsilon }  = 1 + {varepsilon  over 2})

Cuối cùng sẽ có:

(eqalign{  & sqrt {{g over {g'}}}  approx 1 + {varepsilon  over 2} = 1,000073  cr  & T' approx Tleft( {1 + {varepsilon  over 2}} ight) = 2left( {1 + {{13} over {2.89000}}} ight)cr&;;;;;, = 2,000146s cr} )

Chu kì tăng, tức là số giây mà đồng hồ chỉ trong một ngày giảm: đồng hồ chạy chậm đi.

            1 ngày đêm  = 24 giờ = 24.3600 s = 86400 s

Với chu kì dao động của quả lắc là T, trong một ngày đêm đồng hồ chỉ:

            ({{86400} over {T'}}.2 = {{86400.2} over {2,000146}} = {{86400} over {1,000073}} = 86393,7s)

Như vậy, trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm đi là: 86400 – 86392,7 = 6,3 s

c) Gọi ({l_1})  là chiều dài của con lắc ở ({30^o}C), ta có:

(sqrt {{{{l_1}} over l}}  = sqrt {{{1 + 30alpha } over {1 + 20alpha }}}  approx sqrt {1 + 30alpha  - 20alpha }  approx sqrt {1 + 10alpha })

          (  approx 1 + 5alpha  = 1,000085)

Chu kì ({T_1})  ở nhiệt độ  ({30^o}C) là:

({T_1} = 2pi sqrt {{{{l_1}} over {g'}}}  = 2pi sqrt {{l over g}.{{{l_1}} over l}.{g over {g'}}}  = Tsqrt {{{{l_1}} over l}.{g over {g'}}} )

      (= Tleft( {1 + 5alpha } ight)left( {1 + 0,000073} ight))

Áp dụng công thức gần đúng:

            (left( {1 + {varepsilon _1}} ight)left( {1 + {varepsilon _2}} ight) approx 1 + {varepsilon _1} + {varepsilon _2})

Suy ra: ({T_1} = Tleft( {1 + 0,000085 + 0,000073} ight) )

                  (= 2.1,000158 = 2,000316s)

Đồng hồ chạy chậm đi, trong một ngày đêm là:

            ({{86400} over {{T_1}}}.2 = {{86400} over {1,000158}} = 86386,35s)

Tức là chậm đi 86400 – 86386,35 = 13,65 giây trong 1 ngày đêm.

d) Đồng hồ chạy chậm đi 17,6 s trong 1 ngày đêm.

Sachbaitap.com