Câu 19 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao , Xác định phần thực của số phức sau:...

a) Xác định phần thực của số phức ({{z + 1} over {z – 1}}) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1

b) Chứng minh rằng nếu ({{z + 1} over {z – 1}}) là số ảo thì |z| = 1

Giải

a) Ta có:

(|z| = 1 Rightarrow z.overline z  = 1 Rightarrow overline z  = {1 over z})

Với (z ≠ 1)

Ta có:

(eqalign{
& {{z + 1} over {z – 1}} + overline {({{z + 1} over {z – 1}})} = {{z + 1} over {z – 1}} + {{overline z + 1} over {overline z – 1}} cr
& = {{z + 1} over {z – 1}} + {{{1 over z} + 1} over {{1 over z} – 1}} = {{z + 1} over {z – 1}} + {{1 + z} over {1 – z}} = 0 cr} ) 

Suy ra: ({{z + 1} over {z – 1}}) là số ảo nên có phần thực bằng 0.

b) Nếu ({{z + 1} over {z – 1}}) là số ảo thì: 

(eqalign{
& {{z + 1} over {z – 1}} = – {{overline z + 1} over {overline z – 1}} cr
& Rightarrow (z + 1)(overline z – 1) = (overline z + 1)(1 – z) cr
& Rightarrow z.overline z = 1 cr} )

Vậy |z| = 1