Câu 15 trang 38 SBT Toán 7 tập 2: Chứng minh....

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng (AB < {{BE + BF} over 2})

Giải

Trong ∆ABM có (widehat {BAM} = 90^circ )

( Rightarrow ) AB < BM

Mà          BM = BE + EM = BF – MF

Do đó:      AB <  BE  + EM             (1)

                   AB <  BF – FM              (2)

Suy ra:  AB  + AB  <  BE +  ME +  BF  – MF           (3)

Xét hai tam giác vuông AEM và CFM:

                   (widehat {A{ m{E}}M} = widehat {CFM} = 90^circ )

                   AM = CM (gt)

                   (widehat {AM{ m{E}}} = widehat {CMF}) (đối đỉnh)

Suy ra: ∆AEM = ∆CFM (cạnh huyền góc nhọn)

( Rightarrow ) ME = MF             (4)

Từ (3) và (4) suy ra   :  AB  + AB <  BE + BF

( Rightarrow 2{ m{A}}B < BE + BF Rightarrow AB < {{BE + BF} over 2})