Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Bài 15. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

({u_1} = 3, ext{ và },{u_{n + 1}} = {u_n} + 5) với mọi (n ≥ 1).

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng (u_n= 5n – 2) với mọi (n ≥ 1).

Giải

a. Ta có:

(eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 cr
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 cr
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 cr
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 cr
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 cr} )

b. Ta sẽ chứng minh : (u_n= 5n – 2) (1) với mọi (n in mathbb N^*), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với (n = 1), ta có (u_1= 3 = 5.1 – 2)

Vậy (1) đúng khi (n = 1).

+) Giả sử (1) đúng với (n = k, kin mathbb N^*), tức là:

(u_k=5k-2)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi (n = k + 1)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 = 5k – 2 + 5 = 5left( {k + 1} ight) – 2)

Do đó (1) đúng với mọi (n in mathbb N^*).

 Baitapsgk.com