Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng...

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương (n), ta luôn có bất đẳng thức sau :

(1 + {1 over {sqrt 2 }} + … + {1 over {sqrt n }} < 2sqrt n )

Giải:

+) Với (n = 1) ta có (1 < 2sqrt 1 ) .

Vậy (1) đúng với (n = 1)

+) Giả sử (1) đúng với (n = k), tức là ta có :

(1 + {1 over {sqrt 2 }} + … + {1 over {sqrt k }} < 2sqrt k )

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n = k + 1), tức là phải chứng minh : 

(1 + {1 over {sqrt 2 }} + … + {1 over {sqrt k }} + {1 over {sqrt {k + 1} }} < 2sqrt {k + 1} left( * ight))

Theo giả thiết qui nạp ta có :

(1 + {1 over {sqrt 2 }} + … + {1 over {sqrt k }} + {1 over {sqrt {k + 1} }} < 2sqrt k + {1 over {sqrt {k + 1} }})

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

(2sqrt k + {1 over {sqrt {k + 1} }} < 2sqrt {k + 1} )

Thật vậy ta có :

(eqalign{
& 2sqrt k + {1 over {sqrt {k + 1} }} < 2sqrt {k + 1} cr
& Leftrightarrow 2sqrt {kleft( {k + 1} ight)} + 1 < 2left( {k + 1} ight) cr
& Leftrightarrow 2sqrt {kleft( {k + 1} ight)} < 2k + 1 cr
& Leftrightarrow 4kleft( {k + 1} ight) < {left( {2k + 1} ight)^2} cr} )

( Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1)

(⇔ 0 < 1) (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng  tức (1) đúng với (n = k + 1), do đó (1) đúng với mọi (n in mathbb N^*).