Câu 12 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi :...

Bài 12. Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

({u_1} = 1, ext{ và },{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3) với mọi (n ≥ 2).

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi (n ≥ 1) ta có ({u_n} = {2^{n + 1}}-3)   (1)

Giải

+) Với (n = 1) ta có ({u_1} = 1 = {2^2}-3).

Vậy (1) đúng với (n = 1)

+) Giả sử (1) đúng với (n = k) tức là ta có :  ({u_k} = {2^{k + 1}} – 3)

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n = k + 1), tức là phải chứng minh :

({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} – 3)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2left( {{2^{k + 1}} – 3} ight) + 3 = {2^{k + 2}} – 3)

Vậy (1) đúng với (n = k + 1) do đó (1) đúng với mọi (n in mathbb N^*).