Câu 16 trang 109 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Bài 16. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

({u_1} = 1, ext{ và },{u_{n + 1}} = {u_n} + left( {n + 1} ight){.2^n}) với mọi (n ≥ 1)

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

({u_n} = 1 + left( {n – 1} ight){.2^n}) với mọi (n ≥ 1).

Giải

a. Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

({u_{n + 1}} – {u_n} = left( {n + 1} ight){.2^n} > 0;forall n ge 1.)

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b. Ta sẽ chứng minh ({u_n} = 1 + left( {n – 1} ight){.2^n})  (1) với mọi (n ≥ 1), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với (n = 1), ta có ({u_1} = 1 = 1 + left( {1 – 1} ight){.2^1}.) Như vậy (1) đúng khi (n = 1)

+) Giả sử (1) đúng khi (n = k, k inmathbb N^*), tức là:

({u_k} = 1 + left( {k – 1} ight){2^k})

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với (n = k + 1).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có :

({u_{k + 1}} = {u_k} + left( {k + 1} ight){.2^k} = 1 + left( {k – 1} ight){.2^k} + left( {k + 1} ight){.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}})

Vậy (1) đúng với mọi (n ≥ 1).