Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Hãy chứng minh...
Hãy chứng minh . Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Bài 5 . Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau : ({1 over {n + 1}} + {1 over {n + 2}} + … + {1 over {2n}} > {{13} over {24}}.) Giải: +) Với (n ...
Bài 5. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :
({1 over {n + 1}} + {1 over {n + 2}} + … + {1 over {2n}} > {{13} over {24}}.)
Giải:
+) Với (n = 2) ta có : ({1 over 3} + {1 over 4} = {7 over {12}} > {{13} over {24}})
Như vậy (1) đúng khi (n = 2)
+) Giả sử (1) đúng khi (n = k, k > 2), tức là giả sử
({1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + … + {1 over {2k}} > {{13} over {24}})
+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi (n = k + 1), nghĩa là ta sẽ chứng minh
({1 over {k + 2}} + {1 over {k + 3}} + … + {1 over {2k + 1}} + {1 over {2left( {k + 1} ight)}} > {{13} over {24}})
Thật vậy , ta có:
(eqalign{
& {1 over {k + 2}} + {1 over {k + 3}} + … + {1 over {2k}} + {1 over {2k + 1}} + {1 over {2left( {k + 1}
ight)}} cr
& = {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + … + {1 over {2k}} + {1 over {2k + 1}} + {1 over {2left( {k + 1}
ight)}} – {1 over {k + 1}} cr
& = {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + … + {1 over {2k}} + {{2left( {k + 1}
ight) + 2k + 1 – 2left( {2k + 1}
ight)} over {2left( {k + 1}
ight)left( {2k + 1}
ight)}} cr
& = {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + … + {1 over {2k}} + {1 over {2left( {k + 1}
ight)left( {2k + 1}
ight)}} cr
& > {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + … + {1 over {2k}} > {{13} over {24}} cr} )
(theo giả thiết quy nạp)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên (n > 1).
