Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

({u_1} = 3, ext{ và },{u_n} = 4{u_{n – 1}} – 1) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng :

a. ({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} over 3})  (1)  với mọi số nguyên  n ≥ 1

b. (u­_n) là môt dãy số tăng.

Giải:

a. Với n = 1 ta có ({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} over 3})

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : ({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} over 3})

Với n = k + 1 ta có :

(eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} – 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} over 3} – 1 = {{4left( {{2^{2k + 1}} + 1} ight) – 3} over 3}  cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} over 3} = {{{2^{2left( {k + 1} ight)+1}} + 1} over 3} cr} )

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

b. Ta có:

(eqalign{  & {u_{n + 1}} – {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} over 3} – {{{2^{2n + 1}} + 1} over 3} = {{{2^{2n + 1}}left( {{2^2} – 1} ight)} over 3}  cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} cr} )

⇒ (u_n) là dãy số tăng.