Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, a. Tính...

a. Tính (sin {pi  over 8}, ext{ và },cos {pi  over 8})

b. Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức

(sin x + left( {sqrt 2  – 1} ight)cos x = Ccos left( {x – {{3pi } over 8}} ight)) với mọi x.

Giải:

a. Ta có:

(eqalign{  & {sin ^2}{pi  over 8} = {{1 – cos {pi  over 4}} over 2} = {{1 – {{sqrt 2 } over 2}} over 2} = {{2 – sqrt 2 } over 4}  cr  &  Rightarrow sin {pi  over 8} = {1 over 2}sqrt {2 – sqrt 2 }   cr  & {cos ^2}{pi  over 8} = {{1 + cos {pi  over 4}} over 2} = {{1 + {{sqrt 2 } over 2}} over 2} = {{2 + sqrt 2 } over 4}  cr  &  Rightarrow cos {pi  over 8} = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt 2 }  cr} )

b. Ta có:

(eqalign{  & {1^2} + {left( {sqrt 2  – 1} ight)^2} = 4 – 2sqrt 2 ., ext{ Do đó},:  cr  & sin x + left( {sqrt 2  – 1} ight)cos x  cr  &  = left( {sqrt {4 – 2sqrt 2 } } ight)left( {{1 over {sqrt {4 – 2sqrt 2 } }}sin x + {{sqrt 2  – 1} over {sqrt {4 – 2sqrt 2 } }}cos x} ight)  cr  &  = sqrt {4 – 2sqrt 2 } left( {sin xcos {pi  over 8} + sin {pi  over 8}cos x} ight)  cr  &  = sqrt {4 – 2sqrt 2 } sin left( {x + {pi  over 8}} ight)  cr  &  = sqrt {4 – 2sqrt 2 } cos left( {x – {{3pi } over 8}} ight)  cr  & ext{ Vì },{1 over {sqrt {4 – 2sqrt 2 } }} = {{sqrt {4 + 2sqrt 2 } } over {sqrt 8 }} = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt 2 }  = cos {pi  over 8}.  cr  & ext{Vậy },C = sqrt {4 – 2sqrt 2 }  cr} )