Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Gọi (C) là đồ thị của hàm số...

Gọi (C) là đồ thị của hàm số (fleft( x ight) = {x^4} + 2{x^2} – 1). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (y =  – {1 over 8}x + 3)

d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Giải:

a. (f’left( x ight) = 4{x^3} + 4x) .Ta có (2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 – 1 Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 – 3 = 0)

( Leftrightarrow left[ {matrix{   {x_0^2 = 1}  cr   {x_0^2 =  – 3,left( ext{loại} ight)}  cr  }  Leftrightarrow {x_0} =  pm 1} ight.)

* Với x₀ = 1 ta có (f’left( 1 ight) = {4.1^3} + 4.1 = 8)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

(y – 2 = 8left( {x – 1} ight) Leftrightarrow y = 8x – 6)

* Với x₀ = -1 ta có (f’left( { – 1} ight) = 4.{left( { – 1} ight)^3} + 4.left( { – 1} ight) =  – 8)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

(y – 2 =  – 8left( {x + 1} ight) Leftrightarrow y =  – 8x – 6)

b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x₀ thỏa :

(f’left( {{x_0}} ight) = 0 Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 Leftrightarrow 4{x_0}left( {x_0^2 + 1} ight) = 0 )

(Leftrightarrow {x_0} = 0,,left( {{y_0} =  – 1} ight))

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : (y – left( { – 1} ight) = 0left( {x – 0} ight) Leftrightarrow y =  – 1)

c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng (y =  – {1 over 8}x + 3,) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

(eqalign{  & y’ = 8 Leftrightarrow 4{x^3} + 4x – 8 = 0  cr  &  Leftrightarrow 4left( {x – 1} ight)left( {{x^2} + x + 2} ight) = 0 Leftrightarrow x = 1 cr} )

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : (y = 8x – 6)

d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm (Mleft( {{x_0};fleft( {{x_0}} ight)} ight)) của đồ thị (C) là :

(eqalign{  & y = f’left( {{x_0}} ight).left( {x – {x_0}} ight) + fleft( {{x_0}} ight)  cr  &  Leftrightarrow y = left( {4x_0^3 + 4{x_0}} ight)left( {x – {x_0}} ight) + x_0^4 + 2x_0^2 – 1 cr} )

Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :

(eqalign{  &  – 6 = left( {4x_0^3 + 4{x_0}} ight)left( {0 – {x_0}} ight) + x_0^4 + 2x_0^2 – 1  cr  &  Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 – 5 = 0  cr  &  Leftrightarrow x_0^2 = 1Leftrightarrow{x_0} =  pm 1 cr} )

Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :

(y = 8x – 6;;y =  – 8x -6)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :

(left{ {matrix{   {fleft( x ight) = kx – 6}  cr   {f’left( x ight) = k}  cr  } } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{   {{x^4} + 2{x^2} – 1 = kx – 6}  cr   {4{x^3} + 4x = k}  cr  } } ight.)

Khử k từ hệ trên ta được : (3{x^4} + 2{x^2} – 5 = 0 Leftrightarrow {x^2} = 1 Leftrightarrow x =  pm 1)

Suy ra (k = ± 8).

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : (y = 8x – 6;;y =  – 8x -6)