Câu 5 trang 224 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải các phương trình sau :...

Giải các phương trình sau :

a. (2sin left( {x + 10^circ } ight) – sqrt {12} cos left( {x + 10^circ } ight) = 3)

b. (sqrt 3 cos 5x + sin 5x = 2cos 3x)

c. ({sin ^2}x – 3sin xcos x + 2{cos ^2}x = 0)

Giải

a.

({a^2} + {b^2} = {2^2} + {left( { – sqrt {12} } ight)^2} = 16.) Chia hai vế cho (sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 4) ta được :

(eqalign{  & {1 over 2}sin left( {x + 10^circ } ight) – {{sqrt 3 } over 2}cos left( {x + 10^circ } ight) = {3 over 4}  cr  &  Leftrightarrow sin left( {x + 10^circ } ight)cos 60^circ  – sin 60^circ cos left( {x + 10^circ } ight) = {3 over 4}  cr  &  Leftrightarrow sin left( {x – 50^circ } ight) = sin alpha , ext{ với },sin alpha  = {3 over 4}  cr  &  Leftrightarrow left[ {matrix{   {x – 50^circ  = alpha  + k360^circ }  cr   {x – 50^circ  = 180^circ  – alpha  + k360^circ }  cr  } } ight.  cr  &  Leftrightarrow left[ {matrix{   {x = alpha  + 50^circ  + k360^circ }  cr   {x = 230^circ  – alpha  + k360^circ }  cr  } } ight. cr} )

b.

(eqalign{  & sqrt 3 cos 5x + sin 5x = 2cos 3x  cr  &  Leftrightarrow {{sqrt 3 } over 2}cos 5x + {1 over 2}sin 5x = cos 3x  cr  &  Leftrightarrow cos 5x.cos {pi  over 6} + sin 5xsin {pi  over 6} = cos 3x  cr  &  Leftrightarrow cos left( {5x – {pi  over 6}} ight) = cos 3x  cr  &  Leftrightarrow left[ {matrix{   {5x – {pi  over 6} = 3x + k2pi }  cr   {5x – {pi  over 6} =  – 3x + k2pi }  cr  } } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{   {x = {pi  over {12}} + kpi }  cr   {x = {pi  over {48}} + k{pi  over 4}}  cr  } } ight. cr} )

c. * (cos x = 0 Rightarrow sin x =  pm 1, ext{ nên },x = {pi  over 2} + kpi ) không là nghiệm của phương trình.

* Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x) ta được :

({ an ^2}x – 3 an x + 2 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{   { an x = 1}  cr   { an x = 2}  cr  } } ight.)

(Leftrightarrow left[ {matrix{   {x = {pi  over 4} + kpi }  cr   {x = arctan 2 + kpi }  cr  } } ight.)