Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, a. Chứng minh rằng...

a. Chứng minh rằng ({left( {{1 over {{x^n}}}} ight)’} =  – {n over {{x^{n + 1}}}},) trong đó n ϵ N*

b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt ({x^{ – n}} = {1 over {{x^n}}}.) Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức (left( {{x^n}} ight)’ = n{x^{n – 1}}) và nêu nhận xét.

Giải:

a. Ta có: (left( {{1 over {{x^n}}}} ight)’ =  – {{left( {{x^n}} ight)’} over {{x^{2n}}}} = {{ – n{x^{n – 1}}} over {{x^{2n}}}} =  – {n over {{x^{n + 1}}}})

b. Ta có: (left( {{x^{ – n}}} ight)’ =  – n{x^{ – n – 1}}) (Theo a)

Nhận xét : Công thức (left( {{x^n}} ight)’ = n{x^{n – 1}}) đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên (left( { – infty ;0} ight) cup left( {0; + infty } ight)))