Câu 1.35 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình

Giải phương trình (12cos x + 5sin x + {5 over {12cos x + 5sin x + 14}} + 8 = 0)

Giải

Đặt (y = 12cos x + 5sin x + 14) , ta có phương trình (y + {5 over y} - 6 = 0) . Dễ thấy phương trình này có hai nghiệm là (y = 1) và (y = 5) . Do đó

(12cos x + 5sin x + {5 over {12cos x + 5sin x + 14}} + 8 = 0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
12cos x + 5sin x + 14 = 1 hfill cr
12cos x + 5sin x + 14 = 5 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left[ matrix{
12cos x + 5sin x = - 13,,,,,,,,,,,,,left( 1 ight) hfill cr
12cos x + 5sin x = - 9,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight) hfill cr} ight.)

Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho (13left( {13 = sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } ight)) , gọi (alpha ) là số thỏa mãn (cos alpha  = {{12} over {13}}) và (sin alpha  = {5 over {13}}), ta có :

(1) ( Leftrightarrow cos (x - alpha ) =  - 1 Leftrightarrow x - alpha  = pi  + k2pi )

(Leftrightarrow x = alpha  + pi  + k2pi )

(2) ( Leftrightarrow cos (x - alpha ) =  - {9 over {13}})

(Leftrightarrow x = alpha  pm arccos left( { - {9 over {13}}} ight) + k2pi )

zaidap.com