Câu 1.64 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình

Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình

                (y = {x^2} - 3x - 1)

Tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

                (y = {{ - {x^2} + 2x - 3} over {x - 1}})

Viết phương trình tiếp tuyến tuyến chung của parabol (P) và đường cong (C) tại tiếp điểm của chúng.

Giải

Ta viết hàm số thứ hai dưới dạng

                        (y =  - x + 1 - {2 over {x - 1}})

Hoành độ của tiếp điểm (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình

                         (left{ matrix{- x + 1 - {2 over {x - 1}} = {x^2} - 3x - 1 hfill cr - 1 + {2 over {{{left( {x - 1} ight)}^2}}} = 2x - 3 hfill cr}  ight.)

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với phương trình

                         (eqalign{& {2 over {{{left( {x - 1} ight)}^2}}} = 2(x - 1)  cr &  Leftrightarrow {left( {x - 1} ight)^3} = 1 Leftrightarrow x = 2 cr} )

x = 2 cũng là nghiệm của phương trình đầu của hệ.

Hệ có nghiệm duy nhât là x = 2.

Do đó hai đường cong (P) và (C) tiếp xúc với nhau tại điểm A(2;-3)

Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là y = x – 5

Sachbaitap.com