Câu 1.31 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

a) Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số (y = sin x) nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn (left[ { - 1;1} ight])”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số  (y = asin x + bcos x) (a, b là hằng số, ({a^2} + {b^2} e 0)) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn (left[ { - sqrt {{a^2} + {b^2}} ;sqrt {{a^2} + {b^2}} } ight])

b) Xét hàm số (y = {{sin x + cos x - 1} over {sin x - cos x + 3}}). Viết đẳng thức đó thành

(left( {y - 1} ight)sin x - left( {y + 1} ight)cos x =  - 3y - 1,) để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.

                                 ({left( {y - 1} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2} ge {left( {3y + 1} ight)^2})

Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.

c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số (y = {{cos x + 2sin x + 3} over {2cos x - sin x + 4}})

Giải

a) Ta có (asin x + bcos x = sqrt {{a^2} + {b^2}} sin left( {x + alpha } ight)) nên dễ thấy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn (left[ { - sqrt {{a^2} + {b^2}} ;sqrt {{a^2} + {b^2}} } ight])

b) Do (left| {sin x + cos x} ight| le sqrt 2 ) nên (sin x - cos x + 3 e 0) với mọi x. Vậy cặp số (left( {x,y} ight)) thỏa mãn (y = {{sin x + cos x - 1} over {sin x - cos x + 3}}) khi và chỉ khi:

                                (left( {y - 1} ight)sin x - left( {y + 1} ight)cos x =  - left( {3y + 1} ight))

Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn (left[ { - sqrt {{{left( {y - 1} ight)}^2} + {{left( {y + 1} ight)}^2}} ;sqrt {{{left( {y - 1} ight)}^2} + {{left( {y + 1} ight)}^2}} } ight].) Đẳng thức trên cho thấy ( - left( {3y + 1} ight)) phải thuộc đoạn đó, tức là:

                                ({left( {3y + 1} ight)^2} le {left( {y - 1} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2})

Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để

                                (left( {y - 1} ight)sin x - left( {y + 1} ight)cos x =  - left( {3y + 1} ight))

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với

                                (7{y^2} + 6y - 1 le 0) tức là ( - 1 le y le {1 over 7})

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là ({1 over 7}) và -1.

c) (y = {{cos x + 2sin x + 3} over {2cos x - sin x + 4}})

Để ý rằng (left| {2cos x - sin x} ight| le sqrt 5 ,) nên (2cos x - sin x + 4 e 0) với mọi x. Vậy (left( {x,y} ight)) thỏa mãn đẳng thức trên khi và chỉ khi (left( {y + 2} ight)sin x + left( {1 - 2y} ight)cos x = 4y - 3)

Lập luận tương tự như câu b), hàm số y lấy mọi giá trị sao cho

                                ({left( {4y - 3} ight)^2} le {left( {y + 2} ight)^2} + {left( {1 - 2y} ight)^2})

Bất đẳng thức tương đương với (11{y^2} - 24y + 4 le 0) tức là ({2 over {11}} le y le 2)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và ({2 over {11}})

zaidap.com