Bài tập 3 – Trang 121 – SGK Giải tích 12: Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học....

Bài 3. Parabol (y = {{{x^2}} over 2}) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính (2sqrt2) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn đã cho có phương trình ({x^{2}} + { m{ }}{y^2} = { m{ }}8)

Từ đó ta có: (y =  pm sqrt {8 + {x^2}} )

Tọa độ giao điểm của ((C)) và ((P)) thỏa mãn hệ: 

(left{ matrix{
{x^2} = 2y hfill cr
{x^2} + {y^2} = 8 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{y^2} + 2y – 8 = 0 hfill cr
{x^2} = 2y hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
y = 2 hfill cr
x = pm 2 hfill cr} ight.)

(S_1 = 2int_0^2 {left( {sqrt {8 – {x^2}}  – {{{x^2}} over 2}} ight)} d{ m{x}})

(= 2intlimits_0^2 {sqrt {8 – {x^2}} dx – left[ {{{{x^3}} over 3}} ight]} left| {_0^2 = 2intlimits_0^2 {sqrt {8 – {x^2}} } dx – {8 over 3}} ight.)

Đặt (x = 2sqrt 2 sin t Rightarrow dx = 2sqrt 2 {mathop{ m costdt} olimits} )

Đổi cận: (eqalign{
& x = 0 Rightarrow t = 0 cr
& x = 2 Rightarrow t = {pi over 4} cr} )

({S_1} = 2intlimits_0^{{pi  over 4}} {sqrt {8 – 8{{sin }^2}t} .2sqrt 2 { m{costdt – }}{8 over 3}} )

( = 16intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{cos }^2}tdt – {8 over 3}} )( = 8intlimits_0^{{pi  over 4}} {(1 + cos2t)dt – {8 over 3}} )

(= [8t + 4sint2t]|_0^{{pi  over 4}} – {8 over 3} = 2pi  + {4 over 3})

Diện tích hình tròn là: (pi R^2=8pi)

và  ({S_2} = 8pi  – {S_1}=6pi+{4over 3}.)

Vậy  ({{{S_2}} over {{S_1}}} = {{9pi  – 2} over {3pi  + 2}}).