Bài tập 1 – Trang 121 – SGK Giải tích 12: Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học....

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) (y={x^2},y =x + 2);   

b) (y = |lnx|, y = 1);

c) (y = {left( x-6 ight)}^2,y = 6x-{x^2})

Hướng dẫn giải :

a) Phương trình hoành độ giao điểm (f(x) = x^2-x -2 =0 ⇔ x = -1) hoặc (x = 2).

Diện tích hình phẳng cần tìm là :

(S=int_{-1}^{2}left |x^{2}- x- 2 ight |dx = left | int_{-1}^{2}left (x^{2}- x- 2 ight ) dx ight |)

    (=left |frac{x^{3}}{3}-frac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} ight |=left |frac{8}{3}-2-4-(frac{1}{3}-frac{1}{2}+2) ight |)(=4 frac{1}{2})

b) Phương trình hoành độ giao điểm: 

(f(x) = 1 – ln|x| = 0  ⇔ lnx = ± 1)

(⇔ x = e) hoặc (x = frac{1}{e})                                                    

        (y = ln|x| = lnx) nếu (lnx ≥ 0) tức là (x ≥ 1).

 hoặc  (y = ln|x| = – lnx) nếu (lnx < 0), tức là (0 < x < 1).

Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :  

(S=int_{frac{1}{e}}^{e}|1- ln|x||dx =int_{frac{1}{e}}^{1}(1+lnx)dx )

(+int_{1}^{e}(1-lnx)dx)

     (= x|_{frac{1}{e}}^{1}+int_{frac{1}{e}}^{1}lnxdx +x|_{1}^{e}-int_{1}^{e}lnxdx)

     (=-frac{1}{e}+e+int_{frac{1}{e}}^{1}lndx-int_{1}^{e}lnxdx)

Ta có  (∫lnxdx = xlnx – ∫dx = xlnx  –  x  + C),  thay vào trên ta được  :

(S=e-frac{1}{e}+(xlnx-x)|_{frac{1}{e}}^{1}- (xlnx-x)|_{1}^{e})(=e+frac{1}{e}-2)

c) Phương trình hoành độ giao điểm là:

(fleft( x ight) =6x-{x^2}-{left( {x -6} ight)^2} = – 2({x^2}-9x+ 18))(=0)

(⇔  – 2({x^2}-9x+ 18) ⇔ x = 3) hoặc (x = 6).

Diện tích cần tìm là:

(S=int_{3}^{6}|-2(x^{2}-9x+18)|dx)

(=|2int_{3}^{6}(x^{2}-9x+18)dx|)

(=left |2(frac{x^{3}}{3}-frac{9}{2}x^{2}+18x)|_{3}^{6} ight |=9).