Bài tập 5 – Trang 113 – Giải tích 12: Bài 2. Tích phân...

Bài 5. Tính các tích phân sau:

a) (int_{0}^{1}(1+3x)^{frac{3}{2}}dx)    ;        b) (int_{0}^{frac{1}{2}}frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx)

c) (int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx)

 Hướng dẫn giải :

a) (int_{0}^{1}(1+3x)^{frac{3}{2}}dx =frac{1}{3}int_{0}^{1}(1+3x)^{frac{3}{2}}d(1+3x))

 (=frac{1}{3}frac{2}{5}(1+3x)^{frac{5}{2}}|_{0}^{1}=4 frac{2}{15})

b) (int_{0}^{frac{1}{2}}frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx= int_{0}^{frac{1}{2}}frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)}dx= int_{0}^{frac{1}{2}}frac{x(x+1)+1}{x+1}dx)

(=int_{0}^{frac{1}{2}}(x+frac{1}{x+1})dx=(frac{x^{2}}{2}+lnleft | x+1 ight |)|_{0}^{frac{1}{2}}=frac{1}{8}+lnfrac{3}{2})

c) Đặt  (u = ln(1+x)), (dv=frac{1}{x^{2}}dx)( Rightarrow du=frac{1}{1+x},v=-frac{1}{x})
Khi đó :
(int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx = -frac{1}{x}ln(1+x)|_{1}^{2}+int_{1}^{2}frac{dx}{x(1+x)})
(=  – {{ln 3} over 2} + ln 2 +intlimits_1^2 {left( {{1 over x} – {1 over {x + 1}}} ight)dx} )
(={ln {2 over {sqrt 3 }} + { m{[}}ln |x| – ln|x + 1|{ m{]}}left| {_1^2 = ln {2 over {sqrt 3 }} + ln {4 over 3} } ight.})
(= ln {8 over {3sqrt 3 }})