Bài tập 3 – Trang 101- SGK Giải tích 12: Bài 1. Nguyên hàm...

Bài 3. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a)  (∫{(1-x)}^9dx)   (đặt (u =1-x) ) ;

b)  (∫x{(1 + {x^2})^{{3 over 2}}}dx) (đặt (u = 1 + x^2) )

c)  (∫cos^3xsinxdx)   (đặt (t = cosx))

d)  (int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2})    (đặt (u= e^x+1))

Hướng dẫn giải:

a) Cách 1: Đặt (u = 1 – x Rightarrow du= -dx). Khi đó ta được  (-int u^{9}du = -frac{1}{10}u^{10}+C)

Suy ra (int(1-x)^{9}dx=-frac{(1-x)^{10}}{10}+C)

Cách 2: (smallint {left( {1 – x} ight)^9}dx =  – smallint {left( {1 – x} ight)^{9}}dleft( {1 – x} ight)=)  (-frac{(1-x)^{10}}{10} +C)

b) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.

Cách 2:  (int x(1+x^{2})^{frac{3}{2}}dx) = (frac{1}{2}int (1+x^{2})^{frac{3}{2}}d(1+x^2{}))

                                          = (frac{1}{2}.frac{2}{5}(1+x^{2})^{frac{5}{2}}+C) = (frac{1}{5}.(1+x^{2})^{frac{5}{2}}+C)

c)(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx))

(= -frac{1}{4}.cos^{4}x + C)

d)  (int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}) =  (int frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx)=  (int frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx)

     =(frac{-1}{e^{x}+1} + C).