Bài tập 2 – Trang 112 – SGK Giải tích 12: Bài 2. Tích phân...

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a) (int_0^2 {left| {1 – x} ight|} dx)                               b) (int_0^{{pi  over 2}} s i{n^2}xdx)

c) (int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} over {{e^x}}}} dx)                            d) (int_0^pi  s in2xco{s^2}xdx)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có (1 – x = 0 ⇔ x = 1).

(int_0^2 {left| {1 – x} ight|} dx = int_0^1 {left| {1 – x} ight|} dx + int_1^2 {left| {1 – x} ight|} dx)

(=  – int_0^1 {(1 – x)} d(1 – x) + int_1^2 {(x – 1)} d(x – 1))

( =  – {{{{(1 – x)}^2}} over 2}|_0^1 + {{{{(x – 1)}^2}} over 2}|_1^2 = {1 over 2} + {1 over 2} = 1)

b) (int_0^{{pi  over 2}} s i{n^2}xdx)

( = {1 over 2}int_0^{{pi  over 2}} {(1 – cos2x)} dx)

( = {1 over 2}left( {x – {1 over 2}sin2x} ight)|_0^{{pi  over 2}} = {pi  over 4})

c) (int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} over {{e^x}}}} dx = int_0^{ln2} {({e^{x + 1}} + {e^{ – x}})} dx)

( = ({e^{x + 1}} – {e^{ – x}})|_0^{ln2} = e + {1 over 2})

d) Ta có : (sin2xcos^2x) = ({1 over 2}sin2x(1 + cos2x) = {1 over 2}sin2x + {1 over 4}sin4x)

Do đó : (eqalign{
& int_0^pi s in2xco{s^2}xdx = int_0^pi {({1 over 2}sin2x + {1 over 4}sin4x)} dx cr
& = ( – {1 over 4}cos2x – {1 over {16}}cos4x)|_0^pi cr
& = – {1 over 4} – {1 over {16}} + {1 over 4} + {1 over {16}} = 0 cr} ).