Bài 9 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng...

Bài 9. Cho tam giác (ABC) với ba đường trung tuyến (AD, BE, CF). Chứng minh rằng

(overrightarrow {BC} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {CA} .overrightarrow {BE}  + overrightarrow {AB} .overrightarrow {CF}  = 0).

Hướng dẫn trả lời

Ta có (overrightarrow {AD}  = {1 over 2}(overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AC} ))

(eqalign{
& overrightarrow {BE} = {1 over 2}(overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} ) cr
& overrightarrow {CF} = {1 over 2}(overrightarrow {CA} + overrightarrow {CB} ) cr} )

Do đó  (overrightarrow {BC} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {CA} .overrightarrow {BE}  + overrightarrow {AB} .overrightarrow {CF} )

(eqalign{
& = {1 over 2}overrightarrow {BC} (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ) + {1 over 2}overrightarrow {CA} (overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} ) + {1 over 2}overrightarrow {AB} (overrightarrow {CA} + overrightarrow {CB} ) cr
& = {1 over 2}(overrightarrow {BC} overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} overrightarrow {BA} + overrightarrow {CA} overrightarrow {BC} + overrightarrow {AB} overrightarrow {CA} + overrightarrow {AB} overrightarrow {CB} )cr
& = {1 over 2}(overrightarrow {BC} overrightarrow {AB} + overrightarrow {AB} overrightarrow {CB} ) + {1 over 2}(overrightarrow {BC} overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} overrightarrow {BC} ) + {1 over 2}(overrightarrow {CA} overrightarrow {BA} + overrightarrow {AB} overrightarrow {CA} ) = 0 cr} )

(điều phải chứng minh)