Bài 9 trang 128 Hình học 10 Nâng cao: Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn d của (P)...

Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x.

a) Xác định tọa độ tiêu điểm F  và phương trình đường chuẩn d của (P).

b) Đường thẳng Δ có phương trình (y = m,,,,(m e 0)) lần lượt cắt d, Oy, (P) tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.

c) Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng  IM cắt (P) tại một điểm duy nhất.

d) Chứng minh rằng (MI ot KF) . Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.

Giải

a)  Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1, 0).

Phương trình đường chuẩn  d: x + 1 = 0.

b) Ta có (K( – 1;,m),,,,H(0,;,m),,,Mleft( {{{{m^2}} over 4},;,m} ight)) .

c) I là trung điểm OH nên (Ileft( {0,;,{m over 2}} ight))

Phương trình đường thẳng IM

({{x – 0} over {{{{m^2}} over 4} – 0}} = {{y – {m over 2}} over {m – {m over 2}}},,, Leftrightarrow ,,,,x = {m over 2}left( {y – {m over 2}} ight))

(Leftrightarrow ,,,4x – 2my + {m^2} = 0)

Tọa độ giao điểm của IM với (P)  là nghiệm của hệ

(eqalign{
& left{ matrix{
{y^2} = 4x hfill cr
4x – 2my + {m^2} = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow ,,left{ matrix{
{y^2} = 4x hfill cr
{y^2} – 2my + {m^2} = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow ,,left{ matrix{
{y^2} = 4x hfill cr
{(y – m)^2} = 0 hfill cr} ight.,,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ matrix{
x = {{{m^2}} over 4} hfill cr
y = m hfill cr} ight. cr} ) 

Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất (Mleft( {{{{m^2}} over 4},;,m} ight))

d) Ta có (overrightarrow {MI}  = left( { – {{{m^2}} over 4},;, – {m over 2}} ight),,,,,,overrightarrow {KF}  = (2,;, – m)) .

Suy ra  (overrightarrow {MI} .,overrightarrow {KF}  =  – {{{m^2}} over 2} + {{{m^2}} over 2} = 0,,,, Rightarrow ,,MI ot KF)

Tam giác (KMF) cân tại M  (do MF = MK).

MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.