Bài 7 trang 127 Hình học 10 Nâng cao: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M1M2...

Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số (m e 0) , xét hai điểm ({M_1}( – 4,;,m);,{M_2}(4,;,{{16} over m}))

a) Viết phương  trình đường thẳng M₁M₂.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M₁M₂.

c) Chứng tỏ rằng đường thẳng M₁M₂  luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

d) Lấy các điểm ({A_1}( – 4,;,0),,{A_2}(4,;,0)) . Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng ({A_1}{M_2},,{A_2}{M_1}) .

e) Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một  elip (E) cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.

Giải

a) Ta có (overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = left( {8,;,{{16} over m} – m} ight) = left( {8,;,{{16 – {m^2}} over m}} ight))

Phương trình đường thẳng ({M_1}{M_2},,:,,{{x + 4} over 8} = {{y – m} over {{{16 – {m^2}} over m}}})

(eqalign{
& Leftrightarrow ,,left( {16 – {m^2}} ight).left( {x + 4} ight) = 8mleft( {y – m} ight) cr
& Leftrightarrow ,,left( {16 – {m^2}} ight).x – 8my + 64 + 4{m^2} = 0 cr} )                               

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng M₁M₂  là

(d(O,,,{M_1}{M_2}) = {{64 + 4{m^2}} over {sqrt {{{left( {16 – {m^2}} ight)}^2} + 64{m^2}} }} = {{4left( {{m^2} + 16} ight)} over {sqrt {{{left( {{m^2} + 16} ight)}^2}} }} = 4)           

c) Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính R = 4 thì M₁M₂ tiếp xúc với đường tròn cố định (C).

d) Phương trình đường thẳng A₁M₂ là

({{x + 4} over 8} = {{y – 0} over {{{16} over m}}},,, Leftrightarrow ,,,2x – my + 8 = 0)                          

Phương trình đường thẳng A₂M₁ là

({{x – 4} over { – 8}} = {{y – 0} over m},,,, Leftrightarrow ,,,mx + 8y – 4m = 0)                       

Tọa độ giao điểm I của A₁M₂ và A₂M₁ là nghiệm của  hệ phương trình

(left{ matrix{
2x – my + 8 = 0 hfill cr
mx + 8y – 4m = 0 hfill cr} ight.,,,(*),,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = {{4({m^2} – 16)} over {{m^2} + 16}} hfill cr
y = {{16m} over {{m^2} + 16}} hfill cr} ight.)            

Vậy (Ileft( {{{4({m^2} – 16)} over {{m^2} + 16}},;,{{16m} over {{m^2} + 16}}} ight)) .

e) Khử m từ hệ (*) ta có

(eqalign{
& left{ matrix{
my = 2x + 8 hfill cr
m(4 – x) = 8y hfill cr} ight.,,, Rightarrow ,,,(2x + 8).(4 – x) = 8{y^2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Rightarrow ,,,2(16 – {x^2}) = 8{y^2},, cr
& cr& Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = 16cr&Rightarrow ,,{{{x^2}} over {16}} + {{{y^2}} over 4} = 1 cr} ) 

Vậy I nằm trên elip (E) có phương trình (,,{{{x^2}} over {16}} + {{{y^2}} over 4} = 1) .

Ta có ({c^2} = {a^2} – {b^2} = 16 – 4 = 12,,,, Rightarrow ,,c = 2sqrt 3 )

Hai tiêu điểm của elip là ({F_1}( – 2sqrt 3 ,;,0),,,,,{F_2}(2sqrt 3 ,;,0))