Bài 6 trang 127 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3, 4); B( 6, 0)

a) Nhận xét gì về tam giác OAB ? Tính diện tích của tam giác đó.

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB.

d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Giải

a) Ta có(OA = sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5,,,;,,,OB = sqrt {{6^2} + 0}  = 6,,;)

(AB = sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5,)

Tam giác OAB cân tại A. Gọi I là trung điểm của OB ta có I(3, 0) và (AI = sqrt {{{(3 – 3)}^2} + {{(0 – 4)}^2}}  = 4) .

Diện tích tam giác OAB bằng (S = {1 over 2}.AI.OB = {1 over 2}.4.6 = 12) .

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có dạng

((C):,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0)                     

Vì (O,,,A,,,B,, in ,,(O)) nên 

(left{ matrix{
c = 0 hfill cr
9 + 16 + 6a + 8b + c = 0 hfill cr
36,,,,,,,, + 12a,,,,,,,,, + c = 0 hfill cr} ight.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ matrix{
a = – 3 hfill cr
b = – {7 over 8} hfill cr
c = 0 hfill cr} ight.)

Vậy  ((C),:,{x^2} + {y^2} – 6x – {7 over 4}y = 0)  .

c) Phương trình đường thẳng (OA,:,,,{x over 3} = {y over 4},,, Leftrightarrow ,,4x – 3y = 0)

Phương trình đường thẳng (OB,:,,,y = 0)

Phương trình các đường phân giác tại đỉnh O của tam  giác OAB là:

(eqalign{
& {{4x – 3y} over {sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = pm {y over 1},,, Leftrightarrow ,,,left[ matrix{
4x – 3y = 5y,,,,,,,({d_1}) hfill cr
4x – 3y = – 5y,,,,({d_2}) hfill cr} ight. cr
&  Leftrightarrow ,,,left[ matrix{
4x – 8y = 0 hfill cr
4x + 2y = 0 hfill cr} ight.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,left[ matrix{
x – 2y = 0 hfill cr
2x + y = 0 hfill cr} ight. cr} ) 

Với ({d_1}:x – 2y = 0,,) ta có (({x_A} – 2{y_A})({x_B} – 2{y_B}) =  – 5.6 =  – 30 < 0) . Vậy A và B khác phía đối với d₁ , do đó d₁ là đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.

d) Vì tam giác OAB cân tại A nên AI là phân giác trong góc A của tam giác OAB  , ta có (overrightarrow {AI}  = (0,;, – 4)) nên x = 3 là phương trình đường thẳng AI.

Tọa độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là nghiệm hệ phương trình:

(left{ matrix{
x = 3 hfill cr
x – 2y = 0 hfill cr} ight.,,, Leftrightarrow ,,left{ matrix{
x = 3 hfill cr
y = {3 over 2} hfill cr} ight.)

Vậy (Jleft( {3,;,{3 over 2}} ight)) .

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB   là

(r = d(J,,AO) = {{left| {4.3 – 3.{3 over 2}} ight|} over {sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {3 over 2})               

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác OAB là ({(x – 3)^2} + {left( {y – {3 over 2}} ight)^2} = {9 over 4})