Bài 8 trang 128 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của ...

Cho hypebol (H) có phương trình ({{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over 4} = 1)

a)  Viết phương trình các đường tiệm cận của  hypebol (H).

b) Tính diện tích hình chữ  nhật cơ sở của hypebol (H).

c) Chứng minh rằng các điểm (Mleft( {5,;,{3 over 2}} ight),,,N(8,;,2sqrt 3 )) đều thuộc  (H).

d) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của  hypebol (H).

e) Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.

Giải

a)  Ta có a = 4, b = 2.

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là

(y =  pm {b over a}x =  pm {1 over 2}x)                                      

b) Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là (S = 4ab = 4.4.2 = 32)

c) Ta có ({{{5^2}} over {16}} – {{{{left( {{3 over 2}} ight)}^2}} over 4} = 1) và ({{{8^2}} over {16}} – {{{{left( {2sqrt 3 } ight)}^2}} over 4} = 1) nên M và N đều thuộc (H).

d) Phương trình đường thẳng của MN

(Delta ,:,,{{x – 5} over {8 – 5}} = {{y – {3 over 2}} over {2sqrt 3  – {3 over 2}}},,,, Leftrightarrow ,,,,{{x – 5} over 3} = {{2y – 3} over {4sqrt 3  – 3}})                 

Giao điểm P của Δ với  tiệm cận (y = {1 over 2}x) là nghiệm của hệ

(left{ matrix{
,{{x – 5} over 3} = {{2y – 3} over {4sqrt 3 – 3}} hfill cr
y = {1 over 2}x hfill cr} ight.,,,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = 8 + 2sqrt 3 hfill cr
y = 4 + sqrt 3 hfill cr} ight.)

(Rightarrow ,,P,left( {8 + 2sqrt 3 ,;,,4 + sqrt 3 } ight))                .

Giao điểm Q của Δ với  tiệm cận (y =  – {1 over 2}x)  là nghiệm của hệ

(left{ matrix{
,{{x – 5} over 3} = {{2y – 3} over {4sqrt 3 – 3}} hfill cr
y = – {1 over 2}x hfill cr} ight.,,,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = 5 – 2sqrt 3 hfill cr
y = – {5 over 2} + sqrt 3 hfill cr} ight.,,,, )

(Rightarrow Qleft( {5 – 2sqrt 3 ,;, – {5 over 2} + sqrt 3 } ight))               

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN, PQ . Ta có ({x_I} = {x_J} = {{13} over 2}) . Do (I,,,J,, in ,,Delta ) nên (I equiv J) .

Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.