Bài 2 trang 126 Hình học 10 Nâng cao: Cho tam giác vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao...

Cho tam giác  vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN (h.106).

a) Biểu thị các vectơ  theo hai vectơ (overrightarrow {AM} ,,overrightarrow {CN} ) và (overrightarrow {AB} ;,overrightarrow {AC} ) .

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho (AM ot CN) .

Giải

a) Ta có:

(overrightarrow {CM}  = 2overrightarrow {MB} ,,, Rightarrow ,,overrightarrow {AM}  – overrightarrow {AC}  = 2(overrightarrow {AB}  – overrightarrow {AM} ))

(Rightarrow ,,overrightarrow {AM}  = {2 over 3}overrightarrow {AB}  + {1 over 3}overrightarrow {AC} )

Mặt khác (overrightarrow {BN}  = 2overrightarrow {NA} ,, Rightarrow ,,overrightarrow {AN}  – overrightarrow {AB}  =  – 2overrightarrow {AN} )

(Rightarrow ,,overrightarrow {AN}  = {1 over 3}overrightarrow {AB} )

( Rightarrow ,,overrightarrow {CN}  = overrightarrow {AN}  – overrightarrow {AC}  = {1 over 3}overrightarrow {AB}  – overrightarrow {AC} )              

b) Ta có 

(eqalign{
& overrightarrow {AM} ot overrightarrow {CN} Leftrightarrow ,,overrightarrow {AM} .overrightarrow {CN} = 0cr& Leftrightarrow ,,left( {{2 over 3}overrightarrow {AB} + {1 over 3}overrightarrow {AC} } ight)left( {{1 over 3}overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} } ight) cr&;;;;;= 0 cr
&  Leftrightarrow ,,{2 over 9}A{B^2} – {2 over 3}overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} + {1 over 9}overrightarrow {AC} .,overrightarrow {AB} – {1 over 3}A{C^2}cr&;;;;; = 0 cr
&  Leftrightarrow ,,{2 over 9}{c^2} – {1 over 3}{b^2} = 0 cr
& Leftrightarrow ,,2{c^2} = 3{b^2} cr} )