Bài 4 trang 127 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh rằng :...
Chứng minh rằng :. Bài 4 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao – ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC Cho tam giác ABC. a) Tam giác ABC có tính chất gì nếu ({a^2} = {{{b^3} + {c^3} – {a^3}} over {b + c – a}})? b) Biết ({2 over {{h_a}}} = {1 over {{h_b}}} + {1 over {{h_c}}}) , chứng minh rằng (2sin A ...
Cho tam giác ABC.
a) Tam giác ABC có tính chất gì nếu ({a^2} = {{{b^3} + {c^3} – {a^3}} over {b + c – a}})?
b) Biết ({2 over {{h_a}}} = {1 over {{h_b}}} + {1 over {{h_c}}}) , chứng minh rằng (2sin A = sin B + sin C) .
Giải
a) Ta có
(eqalign{
& {a^2} = {{{b^3} + {c^3} – {a^3}} over {b + c – a}}cr& Leftrightarrow ,,{a^2}b + {a^2}c – {a^3} = {b^3} + {c^3} – {a^3} cr
& Leftrightarrow ,,{a^2}left( {b + c}
ight) = left( {b + c}
ight)left( {{b^2} – bc + {c^2}}
ight) cr
& Leftrightarrow ,,{a^2} = {b^2} + {c^2} – bc cr} )
Áp dụng định lí cosin ta có ({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bccos A) .
Do đó (cos A = {1 over 2},, Leftrightarrow ,,widehat A = {60^0}).
Vậy tam giác ABC có góc A bằng ({60^0}) .
b) Ta có (S = {1 over 2}a{h_a},, Rightarrow ,,{h_a} = {{2S} over a},,,,;,,,S = {1 over 2}b{h_b})
(Rightarrow ,,{h_b} = {{2S} over b},,;,,{h_c} = {{2S} over c}) .
Do đó
(eqalign{
& {2 over {{h_a}}} = {1 over {{h_b}}} + {1 over {{h_c}}},,, Leftrightarrow ,,2a = b + c cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,2.2Rsin A = 2Rsin B + 2Rsin C cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,2sin A = sin B + sin C cr} )
